4 Magnetische Struktur der Maßverkörperung
Magnetische Maßverkörperungen, Magnetische Positionsmesssysteme, Magnetische Wegmesssysteme, Magnetische Winkelmesssysteme, Magnetische Maßstäbe, Magnetic measurement scales, Magnetic encoders, Magnetic position sensing, Magnetic field characterization, Magnetic pole patterns
Kapitel 3 führt die magnetische Maßverkörperung und ein ihr zugeordnetes Koordinatensystem ein. Im Folgenden werden ihre geometrische und magnetische Struktur beschrieben sowie Darstellungsregeln und Begriffe für eine technisch detaillierte Strukturbeschreibung festgelegt.
4.1 Magnetisierte Zonen
Magnetische Maßverkörperungen weisen häufig periodisch strukturierte oder aufeinander folgende Bereiche alternierend ausgerichteter Polarisation auf. In solchen Fällen lassen sich klar abgegrenzte Bereiche identifizieren, die voneinander getrennten, jedoch meist identisch oder ähnlich aufgebauten Abschnitten entsprechen, die gemeinsam das Gesamtsystem bilden.
Um diese strukturellen Einheiten präzise beschreiben und individuell referenzieren zu können, wird der Begriff der magnetisierten Zone eingeführt. Eine magnetisierte Zone ist ein zusammenhängendes, geometrisch einfaches magnetisiertes Volumen, in dem die magnetische Polarisation in ihrer räumlichen Verteilung bekannt ist und einen von null verschiedenen Mittelwert aufweist. Zonen dienen der systematischen Zerlegung der Polarisation einer Maßverkörperung in klar definierte Abschnitte, die einzeln analysiert, nummeriert und im Zuge einer Vermessung oder Modellbildung charakterisiert werden. Die Zerlegung einer Polarisationsverteilung in Zonen kann als räumliche Diskretisierung aufgefasst werden.
Die magnetisierte Zone ist begrifflich klar von der magnetischen Domäne (Weißsche Bezirke) abzugrenzen. Domänen sind meist kleine Bereiche einheitlicher Polarisation, die infolge mikromagnetischer Wechselwirkungen entstehen, während Zonen im Sinne dieses Dokuments strukturelle Einheiten zur Beschreibung der Polarisationsverteilung darstellen. Eine Übereinstimmung ist im Einzelfall möglich, im Allgemeinen jedoch nicht gegeben.
Besonders anschaulich wird diese Einteilung, wenn eine Maßverkörperung aus mehreren homogenen Dipolmagneten aufgebaut ist – in diesem Fall entspricht jeder einzelne Dipolmagnet einer eigenen Zone. Ebenso entsteht bei magnetischen Maßstäben, deren Polarisationsmuster durch schrittweises Einschreiben magnetisierter Bereiche erzeugt wird, bei jedem Schreibvorgang eine Zone in der unmittelbaren Umgebung des Schreibkopfes.
In Abbildung 4.1 sind Beispiele für typische magnetisierte Strukturen skizziert. Teilbild (a) zeigt einen homogen magnetisierten Dipolmagneten, der eine einzige Zone bildet. Teilbild (b) zeigt einen Multipolmagneten mit alternierender Polarisation entlang der Längsachse. Die unterschiedlich polarisierten Bereiche sind durch Schattierung hervorgehoben und veranschaulichen eine sinnvolle Zoneneinteilung. (c) zeigt einen Quadrupolring mit stark inhomogener Polarisation. Aufgrund seiner periodischen Struktur kann dennoch eine sinnvolle Zoneneinteilung vorgenommen werden.
Die mittlere Polarisation einer Zone \(\vec{J}_Z\) ergibt sich aus dem Integralmittel des Polarisationsvektorfeldes über das Zonenvolumen. Verläuft \(\vec{J}_Z\) in \(p\)-Richtung, spricht man nach Kapitel 3.4 von einer IP-Zone; verläuft sie hingegen in \(n\)-Richtung, von einer OOP-Zone. Eine symmetrische IP-Zone erzeugt demnach mittig über ihrer Oberfläche ein Magnetfeld, das in \(p\)-Richtung orientiert ist; symmetrische OOP-Zonen ein Magnetfeld in \(n\)-Richtung.
Abbildung 4.2 zeigt schematische Beispiele für das Magnetfeld (Blau) und die Polarisation (Schwarz) verschiedener symmetrischer IP- und OOP-Zonen (Orange). Teilbilder (a) und (d) zeigen homogene Zonen mit gleichmäßiger Polarisation. In der Praxis tritt jedoch häufig eine „bündelförmige“ (bundle-shaped) Verteilung auf, die beispielsweise durch magnetostatische Selbstwechselwirkungen entsteht, siehe (b) und (e). Wird die Polarisation hingegen mit einem Schreibkopf schrittweise in ein dickes isotropes Material eingeschrieben, entstehen typischerweise harmonisch verlaufende Muster, wie in (c) und (f) skizziert. Die dargestellten Fälle verdeutlichen, dass Zonen auch dann sinnvoll als IP- oder OOP-Zone klassifiziert werden können, wenn die tatsächliche Polarisation nicht homogen ist.
In vielen Fällen ist die Zoneneinteilung nicht eindeutig; häufig existieren mehrere plausible Möglichkeiten, eine gegebene Polarisation sinnvoll zu zerlegen. Die gewählte Einteilung sollte daher stets der praktischen Anwendung, dem Verständnis und der eindeutigen Kommunikation dienen. In der Praxis ist dies meist bei einer Zerlegung in IP- oder OOP-Zonen gegeben.
In Abbildung 4.3 sind Beispiele für verschiedene sinnvolle Zerlegungen derselben Polarisation skizziert. In (a) und (b) wird eine harmonische Polarisation einmal in IP-Zonen und einmal in OOP-Zonen unterteilt. Die Teilbilder (c) und (d) zeigen, dass auch die Polarisation eines Quadrupolrings bezüglich der Mantelfläche sinnvoll sowohl in IP-Zonen als auch in OOP-Zonen zerlegt werden kann.
4.2 Magnetpole
Als Magnetpol wird im allgemeinen Sprachgebrauch ein Teilbereich der Oberfläche eines magnetisierten Körpers bezeichnet, an dem das Magnetfeld aus dem Körper austritt oder in ihn eintritt. Bereiche, an denen das Feld austritt, werden als Nordpole bezeichnet; Bereiche, an denen es eintritt, als Südpole.
Formal wird hierfür die Normalkomponente des Magnetfeldes an der Oberfläche des Körpers betrachtet. Ihr Vorzeichen unterscheidet Oberflächenbereiche, an denen das Feld austritt (Nord), von solchen, an denen es eintritt (Süd). Als Pole gelten jedoch nur jene Bereiche, in denen auch die Feldamplitude einen festgelegten Amplitudengrenzwert überschreitet. Bereiche unterhalb des Grenzwerts gelten als polneutral. Die Grenzen der Pole ergeben sich somit aus dem Vorzeichenwechsel der Normalkomponente (zwischen Nord- und Südpolen) sowie den Amplitudengrenzen (zwischen Polen und polneutralen Bereichen). Diese Formalisierung wird in Kapitel 5.4 im Detail ausgeführt.
In Abbildung 4.4 werden das mittels Simulation ermittelte Streufeld und die Normalkomponente zweier Magnete im Querschnitt dargestellt. Die Polarisation der Magnete ist schwarz eingezeichnet. Die Normalkomponente an der Körperoberfläche ist mittels einer Rot-Gelb-Grün-Farbskala dargestellt, das Streufeld durch Feldlinien sowie seine Amplitude durch blaue Farbkonturen. Die schwarz gestrichelte Konturlinie kennzeichnet einen festgelegten Amplitudengrenzwert, anhand dessen die Polbereiche von den polneutralen Bereichen abgegrenzt werden.
Teilbild (a) zeigt einen Würfel mit homogener Polarisation. An seinen Enden bilden sich die klassischen Polflächen aus. Teilbild (b) zeigt einen Quader mit inhomogener Polarisation, bei dem sich die Pole einseitig ausprägen. In beiden Teilbildern ist rechts unten zusätzlich eine abstrakte Poldarstellung der Magnete gezeigt.
Die Poldarstellung kennzeichnet die Nord- und Südpolbereiche auf der Oberfläche der Maßverkörperung. Aus ihrer räumlichen Anordnung lassen sich qualitative Rückschlüsse auf die Streufeldverteilung ziehen. Diese einfache und anschauliche Darstellung eignet sich besonders für Kommunikationszwecke.
Die in diesem Dokument formalisierte feldbezogene Poldefinition beruht auf dem Magnetfeld an der Körperoberfläche. Die besondere Bedeutung der Normalkomponente ergibt sich aus dem Eindeutigkeitssatz der Potentialtheorie, nach dem das Streufeld eines Körpers eindeutig bestimmt ist, wenn die Normalkomponente auf seiner gesamten Oberfläche bekannt ist (Jackson 1998).
Diese Poldefinition ist von der feldtheoretischen Beschreibung über magnetische Ersatzladungen zu unterscheiden (Cullity und Graham 2008; Saslow 2022). Bei einfachen Magneten, insbesondere bei homogen und normal zur Oberfläche polarisierten Körpern, stimmen beide Beschreibungen häufig näherungsweise überein. Bei komplexeren Polarisationsverteilungen, beispielsweise bei IP-Zonenanordnungen, ist diese Übereinstimmung im Allgemeinen nicht gegeben. Gleiches gilt, wenn die betrachtete Oberfläche der Maßverkörperung, etwa aufgrund einer Schutzschicht, nicht mit den Oberflächen der magnetisierten Zonen zusammenfällt. Für magnetische Maßverkörperungen ist die feldbezogene Definition besonders zweckmäßig, da sie sich unmittelbar auf die anwendungsrelevante Streufeldverteilung bezieht.
Eine wichtige Folge der feldbezogenen Poldefinition ist, dass alle Zonen der Maßverkörperung zur Ausbildung der Pole beitragen. Pole müssen daher nicht zwingend an den Grenzen einzelner Zonen liegen. Benachbarte Zonen können Polbereiche verschieben, verstärken, abschwächen oder sogar auflösen. Ein anschauliches Beispiel sind Halbach-Anordnungen, bei denen benachbarte Zonen so ausgerichtet sind, dass die Polausprägung auf einer Seite der Anordnung verstärkt und auf der gegenüberliegenden Seite weitgehend unterdrückt wird.
4.3 Zonenmuster und Polmuster
Die Gesamtheit aller Zonen einer Maßverkörperung wird als Zonenmuster bezeichnet. Es stellt eine für Kommunikations- und Referenzierungszwecke geeignete abstrahierte und häufig vereinfachte Darstellung der Polarisationsstruktur dar.
Die Gesamtheit aller Pole einer Maßverkörperung wird als Polmuster bezeichnet. Es dient der qualitativen Beschreibung der Streufeldverteilung. Obwohl das Polmuster aus dem Magnetfeld abgeleitet wird, wird es in dieser Richtlinie aus praktischen Gründen als strukturbezogenes Oberflächenmerkmal der Maßverkörperung behandelt und in Kapitel 4.6.3 geometrisch beschrieben, dimensioniert und indiziert.
Abbildung 4.5 stellt die vollständige physikalische Beschreibung den daraus abgeleiteten Zonen- und Polmustern gegenüber. Dargestellt sind (a) lineare Anordnung mit OOP-Polarisationsmuster, (b) lineare Anordnung mit IP-Polarisationsmuster, (c) lineare Anordnung mit inhomogener Polarisation, (d) lineare Halbach-Anordnung und (e) ein zylindrischer Quadrupolmagnet. In Unterbild (c) ist die Zerlegung in Zonen nicht eindeutig; daher sind beide Möglichkeiten dargestellt. Die Pole befinden sich jedoch an derselben Stelle.
Polmuster und Zonenmuster sind hier in Kombination dargestellt. Während das Zonenmuster die Polarisation anschaulich beschreibt, dient das Polmuster der Veranschaulichung der Streufeldverteilung. Je nach Zweck kann daher die eine oder die andere Darstellung günstiger sein. So kann eine Zonenbeschreibung bei komplexer oder in der Tiefe unbekannter Polarisation schwierig sein, während das Polmuster die wesentliche Feldverteilung dennoch gut vermittelt.
Ein wichtiges Beispiel stellen einseitig ausgeprägte Pole dar. Diese können sowohl infolge inhomogener Polarisation wie in (c) und (e), als auch infolge spezieller Anordnungen, wie in (d), entstehen. Das Polmuster macht diese einseitige oder zweiseitige Ausprägung unmittelbar sichtbar, während sie aus dem Zonenmuster häufig nicht direkt ablesbar ist.
Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die Polarisation die vollständige magnetische Beschreibung der Maßverkörperung bildet. Aus ihr lassen sich alle anderen Größen ableiten. Umgekehrt lässt sich die zugrunde liegende Polarisation und damit auch das Zonenmuster aus dem bekannten Magnetfeld nicht eindeutig rekonstruieren. Dies ist eine Folge des magnetostatischen inversen Problems (Bruckner u. a. 2017). In der Praxis ist die Polarisation jedoch häufig nicht als experimentelle Größe zugänglich.
Der Zusammenhang zwischen Polarisation, Magnetfeld, Normalkomponente sowie den daraus abgeleiteten Zonen- und Polmustern ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Die Pfeile geben an, welche Größen jeweils aus welchen anderen Größen abgeleitet werden können.
4.4 Magnetische Spuren
Die magnetische Struktur magnetischer Maßstäbe ist in einem oder mehreren streifenförmigen Bereichen entlang der funktionalen Oberfläche angeordnet. Ein solcher Bereich wird als magnetische Spur bezeichnet. Eine Spur erstreckt sich in \(p\)-Richtung über einen festgelegten Abschnitt der Maßverkörperung und besitzt eine begrenzte Ausdehnung in \(o\)-Richtung. Ihr sind alle Zonen und Pole zugeordnet, die innerhalb ihres Bereichs liegen. Das von einer Spur erzeugte Magnetfeld wird als Spurfeld bezeichnet.
Die Spurausrichtung richtet sich nach der geometrischen Anordnung des Messsystems nach Kapitel 3.2. Entsprechend werden Linearspuren, Radialspuren und Axialspuren unterschieden. Linearspuren verlaufen geradlinig entlang der funktionalen Oberfläche. Radialspuren liegen an einer Innen- oder Außenmantelfläche einer rotationssymmetrischen Maßverkörperung. Axialspuren liegen an einer Stirnfläche einer rotationssymmetrischen Maßverkörperung. Beispielhafte Ausführungen sind in Abbildung 4.7 dargestellt.
Der Beschreibungsgrad einer Spur kennzeichnet, in welchem Maß sie entlang der \(p\)-Richtung magnetisch wirksam beschrieben ist. Eine Spur ist vollbeschrieben, wenn sie entlang ihrer gesamten Länge magnetische Zonen aufweist. Eine teilbeschriebene Spur liegt vor, wenn nur ein begrenzter Abschnitt magnetisch wirksam beschrieben ist. Ein typisches Beispiel hierfür ist eine Spur mit einem Referenzbereich. Eine weitere Ausprägung ist die segmentiert beschriebene Spur, bei der mehrere voneinander getrennte, aufeinanderfolgende Bereiche magnetisch wirksam beschrieben sind. Beispielhafte Ausführungen sind in Abbildung 4.8 dargestellt.
Die Polarisationsart einer Spur ergibt sich aus der Polarisationsrichtung ihrer Zonen. Besteht die Spur ausschließlich aus IP-Zonen, spricht man von einer IP-polarisierten Spur oder IP-Spur. Ist sie ausschließlich aus OOP-Zonen zusammengesetzt, spricht man von einer OOP-polarisierten Spur oder OOP-Spur.
Einen wichtigen Sonderfall stellt dabei die Halbach-Polarisation dar. Hier rotiert die Polarisationsrichtung von Zone zu Zone in der \(p\)-\(n\)-Ebene. Dadurch entsteht eine asymmetrische Feldverteilung, bei der das Streufeld auf einer bevorzugten Seite der Maßverkörperung verstärkt wird, während es auf der gegenüberliegenden Seite weitgehend unterdrückt ist. Entsprechend spricht man von einer Halbach-Spur.
4.5 Darstellungskonventionen
Dieses Unterkapitel legt Empfehlungen zur Zonendarstellung und Poldarstellung magnetischer Maßverkörperungen fest. Die Zonendarstellung dient der Veranschaulichung der Polarisationsstruktur, während die Poldarstellung die räumliche Anordnung der Magnetpole auf der Oberfläche der Maßverkörperung beschreibt. Die farbcodierte Darstellung des Streufeldes auf definierten Messflächen wird als Felddarstellung bezeichnet und in Kapitel 5.5 behandelt.
Wenn erforderlich, sollte zunächst sichergestellt werden, dass die geometrische Form einer Maßverkörperung sowie die ihrer Elemente vollständig erkennbar sind. Hierbei sollten normative Vorgaben, beispielsweise nach ISO 5456-2 (International Organization for Standardization 1996), berücksichtigt werden, in denen zulässige Projektionsmethoden geometrischer Körper festgelegt sind.
Für die Zonendarstellung sollten benachbarte Zonen eindeutig unterscheidbar sein. Dies kann beispielsweise durch Trennlinien, unterschiedliche, nicht feldbezogene Füllfarben oder Schraffuren erreicht werden. Die mittlere Polarisationsrichtung jeder Zone sollte durch Richtungspfeile gekennzeichnet werden. Vorzugsweise wird eine Ansicht gewählt, in der die Richtungspfeile unmittelbar auf den dargestellten Zonenflächen eingetragen und eindeutig räumlich zugeordnet werden können. Dabei kennzeichnen Pfeile Richtungen parallel zur Darstellungsebene und die Symbole „\(\odot\)“ (heraus) und „\(\otimes\)“ (hinein) Richtungen senkrecht zur Darstellungsebene. Kann die Polarisationsrichtung in der gewählten Ansicht so nicht eindeutig vermittelt werden, können ihre Komponenten in einer geeigneten orthogonalen Projektion eingezeichnet werden.
Abbildung 4.9 (a) zeigt die in diesem Dokument verwendeten Pfeilsymbole zur Darstellung der Polarisationsrichtung an Seitenflächen von Zonen. Teilbild (b) zeigt eine skizzenhafte Maßverkörperung bestehend aus zwei klar abgegrenzten Zonen alternierender Polarisation. Teilbild (c) zeigt eine Zone mit nicht flächenparalleler Polarisation, dargestellt durch Komponenten einer orthogonalen Projektion auf die Deckfläche.
Für die Poldarstellung werden Polbereiche auf der Oberfläche einer Maßverkörperung farblich gekennzeichnet. Nordpole werden rot eingefärbt und mit dem Symbol „N“ versehen, Südpole grün und mit dem Symbol „S“. In der Schwarzweißdarstellung werden entsprechende Graustufen verwendet, wobei Nordpole weiß oder hell und Südpole schwarz oder dunkel dargestellt werden. Polneutrale Bereiche werden nicht gesondert gekennzeichnet.
Abbildung 4.10 veranschaulicht die Konventionen zur Poldarstellung. Teilbild (a) zeigt die in diesem Dokument verwendeten Farbskalen sowie die Symbole „N“ und „S“. Die eingesetzten Farbcodes sind #EE5544 für Rot und #118866 für Grün. Teilbild (b) zeigt die beispielhafte Poldarstellung einer Maßverkörperung mit zwei Polbereichen auf ihrer Deckfläche.
Die Poldarstellung ist ein Spezialfall der Felddarstellung nach Kapitel 5.5. Wird die OOP-Komponente des Magnetfeldes auf der Oberfläche der Maßverkörperung (n=0) dargestellt, stimmen beide Darstellungen bei gleicher Wahl der Amplitudengrenzwerte hinsichtlich der farbcodierten Bereiche überein.
Abbildung 4.11 demonstriert die beiden Darstellungsformen am Beispiel eines Quadrupolrings, wie er typischerweise als magnetische Maßverkörperung in radial angeordneten Winkelmesssystemen mit außen liegenden Sensoren verwendet wird. Die zugehörige inhomogene Polarisation ist in Abbildung 4.1 (c) skizziert.
Teilbild (a) zeigt den Quadrupolring in Zonendarstellung. Im Vordergrund steht der strukturelle Aufbau des Magneten, also Anordnung, Form und Zusammensetzung seiner magnetisierten Zonen.
Teilbild (b) zeigt den Quadrupolring in Poldarstellung. Der Fokus liegt am nach außen wirksamen Streufeld, ohne dabei Information über die innere magnetische Struktur zu enthalten. Zur besseren Anschaulichkeit wurde die Farbcodierung über die sichtbare Kante hinweg auf die angrenzende Deckfläche fortgeführt. Dadurch kann das Polmuster entlang des gesamten Ringumfangs leichter nachvollzogen werden.
Eine kombinierte Darstellung von Zonen- und Polmuster ermöglicht es sowohl Polarisationsstruktur als auch Feldwirkung einer Maßverkörperung zu vermitteln. Das ist besonders bei komplexen Anordnungen, bei denen sich die Lage der Pole nicht offensichtlich aus dem Zonenmuster erschließt, hilfreich. Dabei können Pole gegenüber Zonengrenzen verschoben sein, sich über mehrere Zonen erstrecken oder sich einseitig ausprägen.
Abbildung 4.12 zeigt zwei Beispiele solcher kombinierter Darstellungen. Teilbild (a) zeigt einen Linearmaßstab mit Halbach-Polarisation. Die Pfeile an den Seitenflächen kennzeichnen das Zonenmuster, während das auf der Oberseite binär dargestellte Polmuster die daraus resultierende Feldwirkung veranschaulicht. Teilbild (b) zeigt einen Halbach-Ring. Die Überlagerung von Zonen- und Polmuster macht die Ausrichtung des Magnetfeldes im Inneren des Rings unmittelbar erkennbar.
Eine häufig verwendete kombinierte Darstellungsform ist die farbcodierte Zonendarstellung. Dabei werden die Zonen entlang ihrer Polarisationsrichtung mit einer Magnetfeld-Farbskala eingefärbt. Diese Einfärbung entspricht näherungsweise der Normalkomponente des Magnetfeldes, die eine isoliert betrachtete Zone auf ihren Seiten erzeugen würde, wie in Kapitel 4.2 ausgeführt. Bei Zusammensetzung der so eingefärbten Zonen ergibt sich in vielen Fällen eine anschauliche Näherung des Polmusters. Voraussetzung ist, dass sich dessen Ausprägung durch die Überlagerung der Feldbeiträge benachbarter Zonen nicht wesentlich verändert.
Abbildung 4.13 demonstriert die farbcodierte Zonendarstellung anhand verschiedener Beispiele. Teilbild (a) zeigt unterschiedliche Dipolmagnete, deren erwartete Feldwirkung durch die Einfärbung der Körperflächen hervorgehoben wird. Teilbild (b) zeigt zweireihig axial gestapelte Würfelmagnete. Die einzelnen Zonen sind klar voneinander abgegrenzt; ihre Einfärbung veranschaulicht das auf Ober- und Unterseite erwartete Polmuster. Teilbild (c) zeigt, wie mit der farbcodierten Zonendarstellung eine einseitige Ausprägung der Pole vermittelt werden kann. Die mögliche zugrunde liegende inhomogene Polarisationsverteilung wird in Kapitel 4.1 und Kapitel 4.2 näher beschrieben.
Weicht das resultierende Polmuster deutlich von der Zonenstruktur ab, wie bei den Beispielen in Abbildung 4.12, ist die farbcodierte Zonendarstellung ungeeignet und kann zu irreführenden Farbzuordnungen führen.
Aufgrund ihrer großen optischen Ähnlichkeit kann die farbcodierte Zonendarstellung leicht mit einer Felddarstellung nach Kapitel 5.5 verwechselt werden. Da beide Darstellungsformen unterschiedliche Informationen vermitteln, sollte stets eindeutig angegeben werden, welche Darstellungsform verwendet wird.
Spuren können bei Bedarf durch eine Umrahmung und durch die Hervorhebung nichtmagnetisierter Bereiche gekennzeichnet werden. Die Kennzeichnung ermöglicht die eindeutige Zuordnung der zugehörigen Zonen und Pole und verdeutlicht, ob sich eine Spur auch über nichtmagnetisierte Abschnitte erstreckt.
Abbildung 4.14 zeigt drei exemplarische Darstellungen magnetischer Maßstäbe. Teilbild (a) zeigt einen typischen Linearmaßstab zur Positionserfassung von Linearachsen. Er weist eine inkrementelle OOP-Spur auf, die in reiner Zonendarstellung gezeigt ist. Teilbild (b) zeigt einen Rotationsmaßstab mit einer radial außen liegenden inkrementellen IP-Spur in farbcodierter Zonendarstellung. Derartige Maßverkörperungen werden häufig in Drehgebern eingesetzt. Teilbild (c) zeigt einen Rotationsmaßstab mit zwei axial angeordneten Spuren in Poldarstellung. Die äußere Spur ist eine vollbeschriebene Inkrementalspur; die innere eine teilbeschriebene Referenzspur. Eine solche Kombination wird oft zur absoluten Positionserfassung eingesetzt.
In wissenschaftlich-technischen Darstellungen wird die Farbkombination Rot–Grün üblicherweise vermieden, da sie für viele Personen mit einer häufig auftretenden Rot-Grün-Sehschwäche nur eingeschränkt unterscheidbar ist (Crameri u. a. 2020). In dieser Richtlinie wird diese Farbwahl jedoch aus historischen Gründen beibehalten. Die hier gewählten Farben unterscheiden sich deutlich in Helligkeit und Sättigung, um eine zuverlässige visuelle Unterscheidbarkeit sicherzustellen.
4.6 Magnetische Struktur
Bisher wurde die magnetische Struktur einer Maßverkörperung anhand von Zonen, Polen und Spuren qualitativ beschrieben. Im Folgenden werden Strukturbegriffe festgelegt, die eine eindeutige geometrische und technisch detaillierte Beschreibung dieser Strukturelemente ermöglichen.
4.6.1 Struktur-KS und Begrenzungsbox-Geometrie
Die Beschreibung der magnetischen Struktur erfolgt in einem zweckmäßig gewählten Struktur-KS mit Ursprung \(O_T\). Seine Koordinatenrichtungen sind in der Regel an den \(p\)-, \(o\)- und \(n\)-Richtungen des Maßverkörperungs-KS ausgerichtet.
Ist das Struktur-KS einer magnetischen Spur zugeordnet, wird es als Spur-KS bezeichnet; der Ursprung wird weiterhin mit \(O_T\) bezeichnet. Besitzt ein magnetischer Maßstab mehrere Spuren, sollte jeder Spur ein eigenes Spur-KS zugeordnet werden.
Als zweckmäßige Konvention wird empfohlen, den Ursprung \(O_T\) in \(o\)-Richtung mittig zur beschriebenen magnetischen Struktur und in \(n\)-Richtung auf der funktionalen Oberfläche der Maßverkörperung anzuordnen. Die \(p\)-Lage wird anhand eines eindeutig festgelegten Strukturbezugs gewählt, typischerweise am Beginn der ersten genutzten Zone oder des ersten genutzten Pols. Bei einem Spur-KS wird hierfür vorzugsweise der Beginn der Spur verwendet.
Abbildung 4.15 veranschaulicht die Festlegung eines Struktur-KS. Entsprechend der Konvention liegt dessen Ursprung in \(o\)-Richtung mittig zur magnetischen Struktur, in \(p\)-Richtung am Beginn der magnetischen Struktur und in \(n\)-Richtung auf der funktionalen Oberfläche der Maßverkörperung.
Lage und Abmessungen magnetisierter Zonen, von Magnetpolen und magnetischen Spuren können in vielen Fällen näherungsweise durch Begrenzungsboxkörper erfasst werden. In kartesischen Koordinaten sind dies achsenparallele Quader, bei zylindrischer Koordinatendarstellung Zylinder- oder Ringsegmente. Angaben in \(p\)-Richtung können dabei nach Kapitel 3 als Länge oder Winkel angegeben werden.
Die nachfolgenden Strukturbegriffe werden verwendet, soweit sich die magnetische Struktur mit der zugrunde liegenden Begrenzungsbox-Geometrie zweckmäßig beschreiben lässt. Für andere Geometrien sind geeignete alternative Größen zu verwenden, wie beispielhaft in Abbildung 4.17 gezeigt.
4.6.2 Strukturbegriffe magnetisierter Zonen
In Begrenzungsbox-Geometrien werden die Abmessungen magnetisierter Zonen in \(p\)-Richtung durch die Zonenlänge \(\ell_Z\), in \(o\)-Richtung durch die Zonenbreite \(w_Z\) und in \(n\)-Richtung durch die Zonentiefe \(d_Z\) beschrieben.
Zonen werden zu Referenzierungszwecken aufsteigend in positiver \(p\)-Richtung mit dem Ordnungsindex \(j=1,…,N_Z\) nummeriert. Die Zonenanzahl \(N_Z\) bezeichnet die Gesamtzahl der nummerierten Zonen. Eine vollständige Indizierung aller vorhandenen Zonen ist nicht erforderlich.
Auf eine Zone kann in \(p\)-Richtung ein Zwischenraum folgen, der keiner Zone zugeordnet ist. Solch ein Zwischenraum entsteht beispielsweise bei aus einzelnen Dipolmagneten zusammengesetzten Maßverkörperungen. Die Ausdehnung des Zwischenraums in \(p\)-Richtung wird als Zonenspalt \(\bar{\ell}_Z^{(j)}\) bezeichnet. Er trägt den gleichen Index wie die vorangehende Zone.
Die Zonenlage \(\vec{r}_Z\) bezeichnet die Position des geometrischen Mittelpunkts des Begrenzungsboxkörpers. Ihre Koordinaten sind \(p_Z\), \(o_Z\) und \(n_Z\).
Abbildung 4.16 zeigt eine beispielhafte Strukturbeschreibung einer magnetischen Maßverkörperung mittels Zonen in kartesischen Koordinaten. Die Maßverkörperung besteht aus einer Halterung mit vier eingesetzten würfelförmigen Dipolmagneten, die in einem OOP-Muster angeordnet sind. Die Halterung ist zur besseren Sichtbarkeit teilweise aufgeschnitten dargestellt. Jeder Dipolmagnet wird dabei als eine Zone aufgefasst. Die Zonen sind in positiver \(p\)-Richtung nummeriert und zugeordnete Größen mit einem entsprechenden Ordnungsindex versehen. Der Ursprung des Struktur-KS \(O_T\) liegt entsprechend der Konvention in \(o\)-Richtung mittig zur Zonenstruktur, in \(n\)-Richtung auf der funktionalen Oberfläche der Maßverkörperung und in \(p\)-Richtung am Beginn der ersten Zone.
In Abbildung 4.17 ist ein axial gestapelter Multipolring mit \(N_Z=8\) in farbcodierter Zonendarstellung gezeigt. Derartige Maßverkörperungen können zur Detektion axialer Verschiebungen entlang der Systemachse eingesetzt werden. Der Ursprung des Struktur-KS ist auf der Mantelfläche in \(o\)-Richtung mittig und in \(p\)-Richtung am Beginn der ersten Zone festgelegt.
Obwohl die Maßverkörperung ringförmig ist, handelt es sich dabei um eine lineare Anordnung. In diesem Beispiel ist der Begriff der Zonenlänge sinnvoll anwendbar, da die Zonen entlang der \(p\)-Richtung gestapelt sind. Die Begriffe Zonenbreite und Zonentiefe sind aufgrund der ringförmigen Geometrie hingegen nicht zweckmäßig. Zur Beschreibung der Geometrie der Maßverkörperung werden stattdessen Innen- und Außenradius des Rings genutzt.
| Begriff | Symbol | Beschreibung |
|---|---|---|
| Zonenanzahl | \(N_Z\) | Gesamtzahl der nummerierten Zonen |
| Zonenlänge | \(\ell_Z^{(j)}\) | Ausdehnung der Zone \(j\) in \(p\)-Richtung |
| Zonenbreite | \(w_Z^{(j)}\) | Ausdehnung der Zone \(j\) in \(o\)-Richtung |
| Zonentiefe | \(d_Z^{(j)}\) | Ausdehnung der Zone \(j\) in \(n\)-Richtung |
| Zonenspalt | \(\bar{\ell}_Z^{(j)}\) | Ausdehnung des einer Zone \(j\) folgenden, keiner Zone zugeordneten Zwischenraums in \(p\)-Richtung |
| Zonenlage | \(\vec{r}_Z^{(j)}\) | Position des geometrischen Mittelpunkts des Begrenzungsboxkörpers der Zone \(j\); Koordinaten \(p_Z^{(j)}\), \(o_Z^{(j)}\) und \(n_Z^{(j)}\) |
4.6.3 Strukturbegriffe magnetischer Pole
In Begrenzungsbox-Geometrien werden die Abmessungen von Magnetpolen in \(p\)-Richtung durch die Pollänge \(\ell_P\) und in \(o\)-Richtung durch die Polbreite \(w_P\) beschrieben.
Pole werden zu Referenzierungszwecken aufsteigend in positiver \(p\)-Richtung mit dem Ordnungsindex \(j = 1, \ldots, N_P\) nummeriert. Die Polanzahl \(N_P\) bezeichnet die Gesamtzahl der nummerierten Pole. Eine vollständige Indizierung aller vorhandenen Pole ist nicht erforderlich.
Die Pollage \(\vec{r}_P\) bezeichnet die Position des geometrischen Mittelpunkts der Begrenzungsbox. Ihre Koordinaten sind \(p_P\) und \(o_P\).
Abbildung 4.18 zeigt eine beispielhafte Strukturbeschreibung von Polmustern in zylindrischen Begrenzungsbox-Geometrien. Dargestellt sind zwei Polräder mit Pseudo-Random-Codierung. In Teilbild (a) ist eine außenliegende Radialspur mit \(N_P = 36\) nummerierten Polen gezeigt; in Teilbild (b) eine Axialspur mit \(N_P = 30\) nummerierten Polen. Bei radial außenliegenden Spuren wie in Teilbild (a) ist es zweckmäßig, \(p_P\) und \(\ell_P\) als Bogenlängen anzugeben. Bei der Axialspur in Teilbild (b) ist dies aufgrund des über die Spurbreite veränderlichen Radius hingegen nicht zweckmäßig.
| Begriff | Symbol | Beschreibung |
|---|---|---|
| Polanzahl | \(N_P\) | Gesamtzahl der nummerierten Pole |
| Pollänge | \(\ell_P^{(j)}\) | Ausdehnung des Pols \(j\) in \(p\)-Richtung |
| Polbreite | \(w_P^{(j)}\) | Ausdehnung des Pols \(j\) in \(o\)-Richtung |
| Pollage | \(\vec{r}_P^{(j)}\) | Position des geometrischen Mittelpunkts der Begrenzungsbox des Pols \(j\); Koordinaten \(p_P^{(j)}\) und \(o_P^{(j)}\) |
4.6.4 Strukturbegriffe magnetischer Spuren
In Begrenzungsbox-Geometrien werden die Abmessungen magnetischer Spuren in \(p\)-Richtung durch die Spurlänge \(\ell_T\), in \(o\)-Richtung durch die Spurbreite \(w_T\) und in \(n\)-Richtung durch die Spurtiefe \(d_T\) beschrieben.
Spuren werden zu Referenzierungszwecken mit dem Ordnungsindex \(i = 1, \ldots, N_T\) nummeriert. Bei parallel angeordneten Spuren erfolgt die Nummerierung aufsteigend in positiver \(o\)-Richtung. Die Spuranzahl \(N_T\) bezeichnet die Gesamtzahl der nummerierten Spuren.
Die Spurlage \(\vec{r}_T\) bezeichnet die Position des Spur-KS-Ursprungs \(O_T\) im Maßverkörperungs-KS. Ihre Koordinaten sind \(p_T\), \(o_T\) und \(n_T\). Mit der üblichen Festlegung von \(O_T\) auf der funktionalen Oberfläche der Maßverkörperung gilt \(n_T = 0\).
Die relative Lage zweier Spuren wird durch ihre Versätze beschrieben. Der Spur-Längsversatz \(p_{TT}\), auch Spur-\(\symbfit{p}\)-Versatz, bezeichnet den Versatz in \(p\)-Richtung. Für die Spuren mit den Ordnungsindizes \(i_1\) und \(i_2\) gilt:
\[ p_{TT}^{(i_1,i_2)} = p_T^{(i_2)} - p_T^{(i_1)}. \]
Der Spur-Querversatz \(o_{TT}\), auch Spur-\(\symbfit{o}\)-Versatz, bezeichnet entsprechend den Versatz in \(o\)-Richtung:
\[ o_{TT}^{(i_1,i_2)} = o_T^{(i_2)} - o_T^{(i_1)}. \]
Für Größen, die sich auf zwei Spuren beziehen, wird nach Kapitel 3.5 der Bezugsindex „TT“ verwendet. Der Spurabstand \(w_{TT}\) bezeichnet den Abstand in \(o\)-Richtung zwischen zwei benachbarten Spuren.
Abbildung 4.19 veranschaulicht die eingeführten Spurbegriffe anhand einer schematischen Darstellung eines magnetischen Maßstabs mit zwei parallelen Linearspuren, die gelb hervorgehoben sind. Die Ursprünge der Spur-KS sind entsprechend der eingeführten Konvention in \(p\)-Richtung am Beginn der jeweiligen Spur und mittig in \(o\)-Richtung festgelegt. Die relevanten Spurgrößen, insbesondere Spurlage, Spurabmessungen, Spurversätze und Spurabstand, sind in der Abbildung eingezeichnet.
Abbildung 4.20 zeigt einen magnetischen Rotationsmaßstab mit drei axialen Spuren in Poldarstellung. Spur 1 ist als inkrementelle Spur mit \(N_P^{(1)} = 72\) Polen ausgeführt, Spur 2 als inkrementelle Spur mit \(N_P^{(2)} = 30\) Polen. Spur 3 dient als Referenzspur und enthält ein einzelnes Referenz-Polpaar.
Die Vorwärtsbewegung ist in der Abbildung grün eingezeichnet, woraus sich mit der funktionalen Oberfläche die \(p\)- und \(o\)-Richtungen ergeben. Die Ordnungsindizes der Spuren sind entsprechend aufsteigend in positiver \(o\)-Richtung von außen nach innen vergeben.
Der Beginn des ersten Pols der Spur 1 ist blau hervorgehoben und dient hier als gemeinsamer Strukturbezug für die \(p\)-Lage der drei Spur-KS. Die dort festgelegte Lage \(p = 0\) wird in \(o\)-Richtung auf die übrigen Spuren übertragen und ist durch eine gepunktete blaue Linie gekennzeichnet. Bei Spur 2 fällt der Ursprung ebenfalls mit dem Beginn des ersten Pols zusammen, während er bei Spur 3 in einem Bereich außerhalb des Referenz-Polpaares liegt. In \(o\)-Richtung liegen die Ursprünge jeweils mittig auf der zugehörigen Spur. Die Ursprünge und lokalen Koordinatenrichtungen der Spur-KS sind entsprechend eingezeichnet.
Die Ordnungsindizes der Pole steigen in positiver \(p\)-Richtung an. Exemplarisch dargestellte Pollängen tragen sowohl den Ordnungsindex der Spur als auch den des jeweiligen Pols und veranschaulichen damit die Verwendung mehrerer Ordnungsindizes für spurbezogene Polgrößen.
| Begriff | Symbol | Beschreibung |
|---|---|---|
| Spuranzahl | \(N_T\) | Gesamtzahl der nummerierten Spuren |
| Spurlänge | \(\ell_T^{(i)}\) | Ausdehnung der Spur \(i\) in \(p\)-Richtung |
| Spurbreite | \(w_T^{(i)}\) | Ausdehnung der Spur \(i\) in \(o\)-Richtung |
| Spurtiefe | \(d_T^{(i)}\) | Ausdehnung der Spur \(i\) in \(n\)-Richtung |
| Spurlage | \(\vec{r}_T^{(i)}\) | Position des Spur-KS-Ursprungs \(O_T^{(i)}\) der Spur \(i\) im Maßverkörperungs-KS; Koordinaten \(p_T^{(i)}\), \(o_T^{(i)}\) und \(n_T^{(i)}\) |
| Spur-Längsversatz, Spur-\(\symbfit{p}\)-Versatz | \(p_{TT}^{(i_1,i_2)}\) | Versatz in \(p\)-Richtung von Spur \(i_1\) zu Spur \(i_2\) |
| Spur-Querversatz, Spur-\(\symbfit{o}\)-Versatz | \(o_{TT}^{(i_1,i_2)}\) | Versatz in \(o\)-Richtung von Spur \(i_1\) zu Spur \(i_2\) |
| Spurabstand | \(w_{TT}^{(i,i+1)}\) | Abstand in \(o\)-Richtung zwischen benachbarten Spuren |